Вся все життя побудована на математиці

Дана стаття являє собою огляд основних подій і тенденцій в історії математики з найдавніших часів до наших днів.

В історії математики традиційно виділяються кілька етапів розвитку математичних знань:

Формування поняття геометричної фігури і числа як ідеалізації реальних об`єктів і множин однорідних об`єктів. Поява рахунку і вимірювання, які дозволили порівнювати різні числа, довжини, площі і обсяги.
Винахід арифметичних операцій. Накопичення емпіричним шляхом (методом проб і помилок) знань про властивості арифметичних дій, про способи вимірювання площ і обсягів простих фігур і тіл. В цьому напрямку далеко просунулися шумеро-вавилонські, китайські та індійські математики давнини.
Поява в стародавній Греції дедуктивної математичної системи, що показала, як отримувати нові математичні істини на основі вже наявних. Вінцем досягнень давньогрецької математики стали «Начала» Евкліда, що грали роль стандарту математичної строгості протягом двох тисячоліть.
Математики країн ісламу не тільки зберегли античні досягнення, а й змогли здійснити їх синтез з відкриттями індійських математиків, які в теорії чисел просунулися далі греків.
У XVI-XVIII століттях відроджується і йде далеко вперед європейська математика. Її концептуальною основою в цей період була впевненість в тому, що математичні моделі є свого роду ідеальним скелетом Всесвіту^[1], і тому відкриття математичних істин є одночасно відкриттям нових властивостей реального світу. Головним успіхом на цьому шляху стала розробка математичних моделей залежності змінних величин (функція) і загальна теорія руху (аналіз нескінченно малих). Всі природничі науки були перебудовані на базі нововідкритих математичних моделей, і це призвело до колосального їх прогресу.
У XIX-XX століттях стає зрозуміло, що взаємовідношення математики та реальності далеко не настільки просто, як раніше здавалося. Не існує загальновизнаної відповіді на свого роду «основне питання філософії математики»^[2]: Знайти причину «незбагненною ефективності математики в природничих науках»^[3]. У цьому, і не тільки в цьому, відносно математики розділилися на безліч дискутуючих шкіл. Намітилося кілька небезпечних тенденцій^[4]: Надмірно вузька спеціалізація, ізоляція від практичних завдань і ін. В той же час міць математики та її престиж, підтриманий ефективністю застосування, високі як ніколи раніше.

Відео: Рибников Ю.С. - Майже Вся наука помилкова і побудована на брехні

Крім великого історичного інтересу, аналіз еволюції математики представляє величезну важливість для розвитку філософії і методології математики. Нерідко знання історії сприяє і прогресу конкретних математичних дісціплін- наприклад, стародавня китайська задача (теорема) про залишки сформувала цілий розділ теорії чисел.

Математика в системі людських знань є розділ, що займається такими поняттями, як кількість, структура, співвідношення і т. П. Розвиток математики почалося зі створення практичних мистецтв рахунку і вимірювання ліній, поверхонь і об`ємів.

Поняття про натуральні числа формувалося поступово і ускладнювалося невмінням первісної людини відокремлювати числову абстракцію від її конкретного уявлення. Внаслідок цього рахунок довгий час залишався тільки речовим - використовувалися пальці, камінчики, позначки і т. П. Археолог Б. А. Фролов обґрунтовує існування рахунку вже у верхньому палеоліті^[5].

З поширенням рахунку на великі кількості з`явилася ідея вважати не тільки одиницями, а й, так би мовити, пакетами одиниць, що містять, наприклад, 10 об`єктів. Ця ідея негайно відбилася в мові, а потім і в писемності. Принцип іменування або зображення числа (нумерація) може бути^[6]:

аддитивним (Один + на + дцять, XXX = 30)
субтрактівним (IX, дев`ять-но-сто)
мультиплікативний (П`ять * десят, три * ста)

Для запам`ятовування результатів рахунку використовували зарубки, вузлики і т. П. З винаходом писемності стали використовувати літери або особливі значки для скороченого зображення великих чисел. При такому кодуванні зазвичай відтворювався той же принцип нумерації, що і в мові.

Назви чисел від двох (zwei, two, duo, deux, dvi, два ...) до десяти, а також десятків і числа 100 в індоєвропейських мовах подібні. Це говорить про те, що поняття абстрактного числа з`явилося дуже давно, ще до поділу цих мов. При утворенні числівників у більшості народів число 10 займає особливе положення, так що зрозуміло, що рахунок по пальцях був широко поширений. Звідси походить повсюдно поширена десяткова система числення. Хоча є і винятки: 80 по-французьки quatre-vingt (тобто 4 двадцятки), а 90 - quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10) - це вживання сходить до рахунку на пальцях рук і ніг. Аналогічно влаштовані числівники данського, осетинського, абхазького мов. Ще ясніше рахунок двадцятками в грузинській мові. Шумери і ацтеки, судячи з мови, спочатку вважали п`ятірками.

Є і більш екзотичні варіанти. Вавилоняни в наукових розрахунках використовували шістдесяткова систему. А тубільці островів Торрес Стрейт - двійкову^[6]:

Урапун (1) - окоза (2) - окоза-Урапун (3) - окоза-окоза (4) - окоза-окоза-Урапун (5) - окоза-окоза-окоза (6)

Коли поняття абстрактного числа остаточно утвердилося, наступною сходинкою стали операції з числами. Натуральне число - це ідеалізація кінцевого безлічі однорідних, стійких і неподільних предметів (людей, овець, днів і т. П.)^[7]. Для рахунку потрібно мати математичні моделі таких важливих подій, як об`єднання кількох множин в одне або, навпаки, відділення частини множини. Так з`явилися операції додавання і віднімання. Множення для натуральних чисел з`явилося в якості, так би мовити, пакетного додавання. Властивості і взаємозв`язок операцій відкривалися поступово.

Інша важлива практична дія - поділ на частини - з часом абстрагувалося в четверту арифметичну операцію - поділ. Ділити на 10 частин складно, тому десяткові дроби, зручні в складних обчисленнях, з`явилися порівняно пізно. Перші дробу зазвичай мали знаменником 2, 3, 4, 8 або 12. Наприклад, у римлян стандартної дробом була унція (1/12). Середньовічні грошові й мірні системи несуть на собі явний відбиток стародавніх недесяткових систем: 1 англійський пенс = 1/12 шилінга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда і т. Д.

Приблизно в той же час, що і числа, людина абстрагуватися плоскі і просторові форми. Вони зазвичай отримували назви схожих з ними реальних предметів: наприклад, у греків «ромбос» означає дзига, «трапедсіон» - столик (трапеція), «сфера» - м`яч^[8].

Теорія вимірів з`явилася значно пізніше, і нерідко містила помилки: характерним прикладом є помилкове вчення про рівність площ фігур при рівності їх периметрів, і назад. Це не дивно: вимірювальним інструментом служила мірна мотузка з вузлами або позначками, так що виміряти периметр можна було без праці, а для визначення площі в загальному випадку ні інструментів, ні математичних методів не було. Вимірювання служили найважливішим застосуванням дрібних чисел і джерелом розвитку їх теорії.

Найдавніші єгипетські математичні тексти відносяться до початку II тисячоліття до н. е. Математика тоді використовувалася в астрономії, мореплаванні, землемір, при будівництві будинків, гребель, каналів і військових укріплень. Грошових розрахунків, як і самих грошей, у Єгипті не було. Єгиптяни писали на папірусі, який зберігається погано, і тому в даний час знань про математику Єгипту істотно менше, ніж про математику Вавилона або Греції. Ймовірно, вона була розвинена краще, ніж можна уявити, виходячи з дійшли до нас документів, що підтверджується тим, що грецькі математики вчилися у єгиптян^{[C 1]}.

Основні збереглися джерела: папірус Ахмеса, він же папірус Ринда (84 математичні завдання), і московський папірус Голеніщева (25 завдань), обидва з Середнього царства, часу розквіту староєгипетської культури. Автори тексту нам невідомі.

А основи теорії чисел закладали Піфагор, Евдокс і Евклід, Ферма і Ейлер, і сьогодні знову-таки наш світ немислимий без цієї, здавалося б, нескінченно далекою від реальності наукової дисципліни - без теорії чисел неможлива криптографія, а значить, електронні платежі і вся взагалі робота банків і фондових бірж.

Вся сучасна життя побудована на математичних теоріях, що зародилися в Стародавньому світі. Але при цьому математичну науку завжди позиціонували як абстрактну, засновану на символічній грі. Однак вийшло так, що математика, демонстративно відвертаючись від реального світу, опинилася на передовій процесу його пізнання. У математиків була репутація диваків, нічого не знають про дійсність і порпаються в своїх нескінченних формулах. А в сучасному світі вони стали чи не найвпливовішими людьми. Їхні праці мають велике значення як для сьогоднішньої науки і розвитку технологій, так і для їх майбутнього, адже це буде черговим етапом у розвитку математики.

Актуальна нескінченність проти потенційної

Існує принаймні три різних підходи до того, що все-таки вивчає математика. Один з них - математичний платонізм, висхідний, як нескладно здогадатися, до Платону. Платон вважав, що математика займається геометричними тілами, так як саме вони найбільш близькі людині, яка живе в матеріальному світі. З давнини люди задавалися питанням будови Всесвіту. Платон виділяв чотири стихії, кожній з яких відповідає одна з так званих платонових тел - правильних багатогранників. Поверхня багатогранника є комбінацією певного числа багатокутників. Вогню відповідає тетраедр, повітрю - октаедр, воді - ікосаедр, землі - гексаедр. Пізніше Аристотель наполягав на існуванні п`ятого елемента, ефіру, який вирішено було співвіднести з додекаедрів. Між стихіями, а значить, тілами, можуть послідовно здійснюватися хімічні реакції, що перетворює одну в іншу. У платонівської Всесвіту все має математично досконалу структуру. І що цікаво - коли стихії розпадаються, вони перестають бути тілами. Це означає, що в момент реакції тіла переходять в чисте ідеальне простір.

Погано те, що базові поняття математики відстали від життя на дві з половиною тисячі років (!) І, перетворившись в непорушні догмати, увійшли в кричущу суперечність з сучасними науковими уявленнями про найважливіші закони Всесвіту.

Удвічі погано, що математика, будучи інструментальної основою всіх інших наук, змушує науку мати справу з архаїчним інструментарієм, ніж позбавляє її можливості адекватного відображення навколишньої дійсності.

І вже зовсім нікуди не годиться те, що спирається на безнадійно застарілі поняття математика не тільки формує у людей спотворене вкрай примітивне уявлення про зовнішній Світі, а й привчає до лояльного сприйняття внутрішніх парадоксів і абсурду, а також демонструє дозволеності зарозумілого ігнорування фундаментальних Законів Всесвіту.

Вступ

Незнання законів, як відомо, не звільняє від відповідальності за їх порушення. Ця фраза зазвичай відноситься до юридичних законів. Тим більше вона має рацію по відношенню до законів нерукотворним - Вселенським.

Один раз за обідом Гурджієв знову заговорив про оплату, про різні способи оплати, про оплату праці, з яким зобов`язує появою на світ борг перед природою. Він сказав: "Ви платите мені за те, що вам дозволяють працювати тут. Але працюючи тут, ви дізнаєтеся і відчуєте, як живуть дев`ять десятих усього світу. Працюючи фізично належним чином, ви зможете багато придбати, в розумінні. Якщо ви допомагаєте своєму ближньому, вам, в свою чергу, прийде допомога, - може бути, завтра, може бути, через рік, може бути, через сотню років. Але вам обов`язково допоможуть. Природа повинна виплачувати борги, це є законом. Якщо вам подобається ваша робота, ми негайно отримуємо винагороду у вигляді задоволення. Якщо робота вам не подобається і ми робимо зусилля, нагорода повинна прийти, але пізніше. Це математичний закон, і все життя побудована на математиці. Справжнє є результат минулого, і майбутнє стане результатом справжнього. Все живе має боротися. Кидаючи погляд у минуле, ми зазвичай згадуємо важкі часи, час боротьби, але боротьба - і це життя".

Хтось запитав, чому ми народжуємося і чому вмираємо? Він сказав: "Ви хочете знати? Насправді, щоб знати, вам потрібно пройти через страждання. Ви повинні навчитися страждати не так, як ви зараз страждаєте, а усвідомлено. В даний час ви не вмієте страждати ні на один франк, а щоб трохи розуміти, вам потрібно страждати на мільйон франків".

Крім розвитку розуму, у знання математики Тобто, звичайно, й інші переваги. Чимало серйозних професій, на яких тримається вся наша цивілізація (професія архітектора, наприклад, або інженера), повністю побудовані на математиці, і без знання її, без навичок математичного мислення, ніколи не вдасться освоїти таку професію.

Ось тільки дуже багато ці професії сьогодні, на жаль, знаходяться в глибокому загоні і не цінуються оглупевшім суспільством, яке кричить про те, що математика не потрібна, тим самим не помічаючи, що гризуть коріння дуба, з якого їм під ноги сиплються всі жолуді досягнень нашої цивілізації. І тому люди, що володіють найпотужнішими мізками і серйозні знання, на жаль, не цінуються, і часто живуть на межі бідності. І це вже, на жаль, в більшій мірі вина і особливість саме нашої держави. Знайти роботу в приватній фірмі за кордоном, володіючи професією, що вимагає глибокого розуміння математикою - значить забезпечити себе і фінансовим станом, і суспільним становищем.

Відео: 🔴 ОГЕ математика # 2

У Евкліда є чудове за своєю глибиною і самокритичності вислів: «Нічого нового я не маю. У мене тільки метод викладу новий ».

Дійсно, він багато довів, структурував існуючі знання, але принципово нового у нього мало.

Відео: ЧИ МОЖНА ДОВІРЯТИ МАТЕМАТИКИ? | IQ

2. Кожному робітникові необхідні математичні знання. наприклад, токар, обробляє деталь, повинен дотримуватися конкретних розмірів, часто йому необхідна велика точність обробки деталі, тому йому треба вміти читати креслення.
Для тих, хто хоче зайнятися комп`ютерним програмуванням, без математики - нікуди. Весь розрахунок проводиться тільки за допомогою математичних формул і графіків.
для економіста математика є найважливішою річчю, так як на ній побудована вся його робота. Всі операції, які він виконує, побудовані на обчисленнях і розрахунках. Він розраховує, що він повинен зробити, щоб виграти в одній операції і заощадити на інший.
В будівництві ніяк не обійтися без математики - будівельникам потрібно підрахувати, скільки матеріалу потрібно затратити, як вивірити кошторис, якої товщини, наприклад, повинна бути товщина стіни і т.д.
лікар зобов`язаний виписати рецепт на ліки в правильних дозах.
І в звичайному житті просто необхідна математика. Наприклад, щоб не обрахували в магазині або щоб зрозуміти, чи вистачить грошей на кілька цікавих дисків і чи залишиться при цьому на морозиво,
математичні розрахунки потрібні при кроєння сукні, приготуванні їжі на багато людей.
Таким чином, математика необхідна в будь-якій професії.

З розвитком квантової фізики ідеал наукового пояснення почав змінюватися. Виявилося, що квантові явища не вдається пояснити за допомогою однозначно детермінованих законів. Закони квантової фізики спираються на ймовірні уявлення. Але уявлення про час виявляються дуже стійкими. Квантова механіка використовує час як ту ж саму змінну, яка входила в класичні теоретичні уявлення. Але поряд з цим в розвитку теоретичної фізики ХХ століття можна спостерігати тенденцію нівелювати властивості часу в порівнянні з простором. Ця тенденція виражається в ній набагато сильніше, ніж в класичній механіці, в якій при використанні геометризированной моделі часу простір і час чітко і не двозначно розрізняли. Мабуть, імовірнісний характер квантових теорій не відповідає статичним моделям часу, які втілювалися в теоретичній фізиці раніше. Але квантові теорії, так само, як колишні теорії, пояснюючи явища, будуються як байдужі до темпоралізму людського життя.

Відео: [ТЕД] Седрік Віллані: У чому краса математики? (2016)

Що стосується емпіричного рівня наукового пізнання, то зі створенням квантової фізики і теорії відносності приходить розуміння того, що наукова діяльність є макроскопічної діяльністю людини. Це було виявлено і підкреслено в результаті аналізу ролі приладу і системи відліку в науковому пізнанні. У квантовій ж фізики співвідношення невизначеностей накладає додаткові обмеження на процедуру вимірювання часу, з якими класична фізика не стикається. Більш того, в процесі емпіричного дослідження вчений спирається на певне розуміння часу, яке склалося в процесі усвідомлення дійсності і самого себе як мають временную структуру (на рівні філософської рефлексії або ж в рамках буденної свідомості, що має в свою чергу певні світоглядні передумови). Емпіричний рівень наукових досліджень, зв`язок з яким багато в чому забезпечує інтерпретацію відповідних теоретичних величин як часу, передбачає врахування цілого ряду реальних умов, в яких живе і діє людина.

Ельхана, 26/02/14
Коли то в 5 класі, я перевелася в нову школу. Це було пекло, пекло - елітної школи. Стіни відбивали біль, в коридорах було тихо. Так, не було тих хто бігав - а тільки мертва тиша. Я була маленькою дівчинкою, в піджачку, відмінницею до 4 класу, завжди була на 1 місці. Але потім моя сім`я переїхала, і знаєте потрапила не в звичайну школу, а на фінансування стіни. Там де кожен день люди платили за навчання, за те що на нас кричать, ображають, принижують. Ось докладніше і розповім. Це був жовтень, пройшло 7 років а я досихпор пам`ятаю цей момент. З вікон осявало сонце, все сиділи за партами і перед нами сиділа вона - вчителька, з величезним обличчям, захриплим голосом і ненависним поглядом на мене. Викликала і почала питати те, що не знала. не встигла. Вона перед класом виставила, перед усіма, і сказала: подивіться які дегенерати ростуть, ось вам приклад. А я була маленькою дівчинкою - це була математика. Після цього я більше не могла зрозуміти алгебру, геометрію. Як хворий хрест на мій новий гуманітарний мозок.

Baltic, 13/03/14
Люди з лівої колонки кажуть: "Математика - цариця всіх наук, розвиває мозок і взагалі від неї багато користі". Я з цим не згоден. Все-таки на світі повно інших речей, які допомагають розвивати інтелект: шахи, шашки, покер, кросворди, логіка, пізнавальні передачі, розумні книги і ще багато інших альтернатив. А математика дана не кожному, тому розвиває не всіх. Як вона може розвивати тих, хто її не розуміє? Нехай краще їй займаються ті, кому вона буде реально потрібна по життю.

Ахесса, 10/07/14
Я розумію, звичайно, що математика в житті мені дуже навіть стане в нагоді. Але я не розумію навіщо вивчати рівняння завдовжки два кілометри. Я просто ненавиджу математику, всі ці числа, квадратні корені ... Вони мене просто дратують.

Jane Lost, 14/09/14
Може, вона й цариця наук, але це точно не для мене. Я ніколи не помічала у себе тягу до точних наук, хоча математичка і батьки були впевнені в моїй прихований потенціал, як ні странно.Но іноді я не можу відповісти на елементарні питання, навіть на рівняннях 1 або 2 класу туплю. Я забитий гуманітарій і всі ці формули і завдання мене відверто вибешівает. Начебто нам це в життя все доводиться, ага.

Срініваса Айенгор Рамануджан

У 1910-х роках Рамануджан сформулював більш ніж 3000 теорем, включаючи властивості функції розбиття числа і її асимптотических оцінок. Він також отримав важливі результати в області дослідження гамма-функції, модулярних форм, що розходяться рядів, гіпергеометричних рядів і теорії простих чисел.

Ендрю Уайлс довів останню теорему Ферма в 1995 році, закривши багатовікову проблему.

На початку XX століття Лебег і Борель узагальнили жорданову теорію мери- на її основі був побудований інтеграл Лебега. У школі Гільберта з`явився функціональний аналіз, незабаром знайшов безпосереднє застосування в квантовій фізиці.

У 1960-х роках Абрахам Робінсон опублікував виклад нестандартного аналізу - альтернативного підходу до обгрунтування математичного аналізу на основі актуальних нескінченно малих.

Інтенсивно розвивається теорія багатовимірних різноманіть, яка стимулюється потребами фізики (ОТО, теорія струн і ін.).

Загальна топологія стрімко розвивається і знаходить застосування в самих різних областях математики. Масовий інтерес викликали фрактали, відкриті Бенуа Мандельброт (1975).

Герман Мінковський в 1907 році розробив геометричну модель кінематики спеціальної теорії відносності, пізніше послужила основою для Загальної теорії відносності (ЗТВ). Обидві ці теорії послужили стимулом для швидкого розвитку багатовимірної диференціальної геометрії довільних гладких многовидів - зокрема, риманових і псевдорімановим.

У другій половині XX століття, в зв`язку з появою комп`ютерів, відбулася суттєва переорієнтація математичних зусиль. Значно зросла роль таких розділів, як чисельні методи, теорія оптимізації, спілкування з дуже великими базами даних, імітація штучного інтелекту, кодування звукових і відеоданих і т. П. Виникли нові науки - кібернетика, інформатика, розпізнавання образів, теоретичне програмування, теорія автоматичного перекладу , комп`ютерне моделювання, компактне кодування аудіо- та відеоінформації та ін.

Ряд старих проблем отримали рішення при використанні сучасних методів. Вольфганг Хакен та Кеннет Апель за допомогою комп`ютера вирішили проблему чотирьох фарб (1976).

In primum Euclidis Elementorum commentarii. - Leipzig, 1873. - С. 64.Proclus Diadochus.«Відповідно до більшості думок, геометрія була вперше відкрита в Єгипті, і виникла при вимірі площ» //
. - М.-Л., 1934. - С. 26-27.Метафізіка, глава п`ятаАристотель.«... так звані піфагорійці, зайнявшись математикою, перші розвинули її і, оволодівши нею, стали вважати її початку началами всього існуючого ... їм здавалося, що все інше за своєю природою явно уподобляемо числах, і що числа - перший у всій природі, то вони припустили , що елементи чисел суть елементи всього існуючого і що все небо є гармонія і число »//
.Баварії в КёнігсбергІмеется на увазі не нинішній Калінінград, а

, с. 44-47.Клайн М. Математика. Втрата визначеності, 1984
Глава XII // Математика. Пошук істини. Указ. соч.Клайн М.
.УФН за березень 1968 або в: Світ, 1971.М.. - Етюди про симетрії Див. Російський переклад в книзі .З. 1-14. - № 13 // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960. - The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Wigner E. P.
, с. 323-407.Клайн М. Математика. Втрата визначеності, 1984
Числа в графіку палеоліту. - Новосибірськ: Наука, 1974. - 240 с.Фролов Б. А.
²¹ , Том I, с. 12-13.Історія математики, 1970-1972
».множинне і незмінно об`єкти існують рівноцінні: «Перш ніж виникне поняття про число, повинен існувати досвід, що в даному разі: Світ, 1979. - С. 74 (підрядкова примітка). - 592 с.М. Пізнання і оману // Альберт Ейнштейн і теорія гравітації. - Мах Е.
, Том I, с. 14.Історія математики, 1970-1972
, Том I, с. 21-33.Історія математики, 1970-1972
, Том I, с. 30-32.Історія математики, 1970-1972
, Том I, с. 158.Історія математики, 1970-1972
.С. 559-678. - Т. XII Про даних числах / Пер. і прим. С. Н. Шрейдера. Під ред. І. Н. Веселовського // Історико-математичні дослідження. - 1959. - Неморарій.
.С. 293. - Т. I З історії середньовічної атомістики // Праці Інституту історії природознавства. - 1947. - Зубов В. П.
.С. 601-732. - Вип. 11, 1958. - М.. - В. П. Зубова Трактат про конфігурацію якостей // Історико-математичні дослідження / Пер. Орем Н.
: Наука, 1982. - (Бібл. «Квант», вип. 14).М.. - Розповіді про фізиків і математиківГиндикин С. Г.
. Introduction a l`art analytique. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. I, 1868.Fr. Viete
// Міркування про метод, з додатками / Пер., Статті та коментарі Г. Г. Слюсарева і А. П. Юшкевича. М. Л .: Изд. Академії наук СРСР, 1953.ГеометріяДекарт Р.
/ Пер. І. Ю. Тимченко. - 2-е изд., Испр. - Одеса: Mathesis, 1917.Історія елементарної математики. додаток 12Кеджорі Ф.
, Том I, с. 304-305.Історія математики, 1970-1972
, Том II, с. 21.Історія математики, 1970-1972
Декарт і математика. // Р. Декарт. Геометрія. М. Л .: 1938. С. 255-294.Юшкевич А. П.
Геометрія. З додатком вибраних робіт П. Ферма і листування Декарта / Пер., Примітки та стаття А. П. Юшкевича. М. Л .: 1938.Декарт Р.
/ Пер. Я. В. Успенського. Передмова А. А. Маркова. М .: Наука, 1986.О законі великих чиселЯ. Бернуллі
/ Пер. і передмова Г. Н. Свєшнікова. Вступна стаття М. Я. Вигодський. М. Л .: ГТТІ, 1935. С. 109.Новая стереометрія винних бочокІ. Кеплер.
Геометрія, викладена новим способом за допомогою неподільних безперервного, з додатком «Досвіду IV» про застосування неподільних до алгебраїчних ступенями / Пер., Вступна стаття та коментарі С. Я. Лур`є. М. Л .: 1940.Кавальєрі Б.
Ферма П. Вступ до вивчення плоских і просторових місць. Про максимумі і мінімумі. Витяги з листування з Декартом // Р. Декарт. Геометрія. М.-Л .: 1938. С. 137-196.
Математичні роботи / Пер., Статті та коментарі Д. Д. Мордухай-Болтовського. М.-Л .: тисячу дев`ятсот тридцять сім.І. Ньютон.
Вибрані уривки з математичних творів / Склав і перевів А. П. Юшкевич. - Успіхи матем. наук, 1948. Т. III. В. I (23). С. 165-204.Лейбніц Г. В.
), Париж, 1 667.Nouveaux elements de geometrie фр. Нові початку геометрії (Антуан Арно.
/ Пер. В. С. Гохмана, під ред. Л. Г. Лойцянський і А. І. Лур`є. М.-Л .: 1950.Аналітіческая механіка, т. I, IIЖ. Лагранж.
Виклад системи світу. - Л .: Наука, 1982. 376 с.Лаплас П. С.
/ Пер. Е. Л. Пацановского, стаття А. Шпайзера, ред. І. Б. Погребиський Йосип Бенедиктович. С. 109.Введеніе в аналіз нескінченних. Т. IЛ. Ейлер.
Леонард Ейлер. М .: Учпедгиз, 1961Котек В. В.
Досвід філософії теорії ймовірностей / Пер. A. I. B.- ред. А. К. Власова. М .: 1908.Лаплас П.
.ISBN 5-7038-2890-2, 2006. - С. 477. - 648 с. - МГТУ ім. Баумана: М. Математика древня і юна. - Изд. 2-е, виправлене. - Панов В. Ф.
/ Пер. В. Ф. Газі, під редакцією Д. І. Каргіпа. М .: 1947.Начертательная геометріяГ. Монжа.
// Підстави геометрії. М .: ГІТТЛ, 1956.Общіе дослідження про криві поверхніГаусс К. Ф.
Нарис історії диференціальної геометрії. М. Л .: Гостехиздат, 1941.Стройк Д.
М.-Л .: ОГИЗ. ГІТТЛ, 1948.СочіненіяРіман Б.
Алгебраїчний аналіз / Пер. Ф. Евальда, В. Григор`єва, А. Ільїна. Лейпциг: 1864. С. VI.О. Л. Коші.
/ Пер. Б. Б. Дем`янова, загальна ред. І. М. Виноградова, коментарі Б. Н. Делоне. М .: Изд-во АН СРСР, 1959.Труди з теорії чиселГаусс К. Ф.
М .: Світ, 1965Введеніе в геометрію чиселКасселс Дж.
М.-Л .: ОНТИ, 1936.СочіненіяГалуа Е.
/ Под ред. П. С. Александрова. М .: «Наука», 1969. С. 34.Проблеми Гільберта
Основи науки. СПб .: тисяча вісімсот вісімдесят одна.Джевонс С.
, с. 228-250.Клайн М. Математика. Втрата визначеності, 1984
, с. 251-299.Клайн М. Математика. Втрата визначеності, 1984
, с. 7-8.Вейль Г. Півстоліття математики, 1969

Історія вітчизняної математики (в 4 томах, 5 книгах) / Под ред. І. З. Штокало. - Київ: Наукова думка, 1966-1970.
: Світ, 1984. - 446 с.М.. - Математика. втрата визначеностіКлайн М.
: Світ, 1988. - 295 с.М.. - Математика. Пошук істиниКлайн М.
.ISBN 5-7406-0544-X Вибрані глави історії математики. - Калінінград: Бурштиновий оповідь, 2002. - 304 с. - Малаховський В. С.
: Изд-во МГУ, 1997..М.Нариси з історії математики. -
: Изд. МГУ.М. Історія математики в двох томах. - Рибников К. А.
Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія. 1976, 318 с.
Математичний аналіз. Теорії ймовірностей. 1977, 224 с.
: Просвещение, 1979. - 256 с.М.. - Творці математикиБелл Е. Т.
: ГІФМЛ, 1960. - 468 с.М.. - Історія математики від Декарта до середини XIX століттяВілейтнер Г.
.ISBN 5-900916-83-9, 2001. - МЦНМО: М.. - 3-е изд., Расш. - Розповіді про фізиків і математиківГиндикин С. Г.
: Наука, 1986.М. Розповіді про вчених. - Лишевський В. П.
: Наука, 1967.М. Теорія імовірності. Історичний нарис. - Майстрів Л. Є.
: ГТТІ, 1951.М.. - Нариси з історії теорії аналітичних функційМаркушевич А. І.
: Наука, 1987.М.. - Рене ДекартМатвієвська Г. П.
: Наука, 1979.М. З історії алгебри. - Нікіфоровський В. А.
: Наука, 1985.М. Шлях до інтеграла. - Нікіфоровський В. А.
: Наука, 1977.М. Математична думка допетрівською Русі. - Симонов Р. А.
Історія математики в XVI і XVII століттях. - М.-Л .: ОНТИ, 1938. - 456 с.Цейт Г. Г.
Том I М.-Л .: Гонти, 1937. 432 с.
Том II. М.-Іжевськ: 2003, 239 с.
: Наука, 1978-1987.М. Математика XIX століття. - Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).
: Физматгиз, 1959.М.Математика в СРСР за сорок років, 1917-1957. -

Увага, тільки СЬОГОДНІ!